Decisiones colectivas

RESUMEN: En este tema desarrollamos el problema de decisiones colectivas que se plantea cuando n individuos tratan de ordenar un conjunto de w alternativas.

A partir del escrutinio, ordenación que de las mismas hace cada votante, se trata de encontrar la ordenación que produzca el máximo de satisfacción al colectivo, (función de bienestar social). Arrow, premio Nóbel de Economía en 1972,  demostró la no garantía de existencia de tal función.

Condorcet, Borda, Black y Coombs proponen un conjunto de procedimientos cualitativos y cuantitativos para intentar una solución al problema.

Esta metodología tiene aplicación en la dirección empresarial, muchos estudiantes se forman con un curso en análisis y toma de decisiones para abordar sin dificultad los problemas como el de selección de candidatos a un puesto de trabajo, políticas a seguir, local donde instalarse, etc.

1.1  INTRODUCCIÓN

Junto con la toma de decisiones bajo incertidumbre, es el capítulo que más ha influido en el desarrollo actual de la Teoría de la Decisión.

En el siglo XVIII, los matemáticos franceses Borda y Condorcet estudiaron los sistemas de elección en procesos democráticos.

Otros hombres de ciencia que han contribuido a su desarrollo son: Arrow, Black, Nash, Coombs, Luce, Raiffa, etc.

El problema de la decisión colectiva es particularmente importante en los ámbitos económico y sociológico, una sociedad desarrollada exige de manera constante la elaboración de decisiones que afectan al colectivo como tal.

La experiencia histórica indica que los métodos de decisión colectiva han sido:

1. La adopción de decisiones con referencia a un código moral
2. Las decisiones han sido tomadas por un individuo o grupo sin consulta a la colectividad
3. Las decisiones se toman por la colectividad misma, bien directamente o bien, mediante sus representantes elegidos por algún tipo de votación

Los dos primeros casos conducen a una elección individual por lo que nos limitamos aquí al tercer caso.

En su expresión más general, el problema de la decisión colectiva consiste en definir los métodos equitativos que permitan combinar decisiones individuales de modo que nos conduzcan a una decisión colectiva.

Se pretende entonces definir una función llamada de bienestar social que a partir de las decisiones individuales nos permita encontrar una ordenación única que consiga el máximo nivel de satisfacción de la colectividad

1.2  Formulación general del problema

Sean:

1. a) Alternativas

A = {A, B, C, ….}, el conjunto de alternativas. Cardinal de (A ) = w

1. b) Decisores

B = {1,2,…. , n}, el conjunto de decisores

1. c) Relación de preferencia individual

Para cada individuo i,  y dos posibles alternativas A y B denotaremos

A    B, el individuo i prefiere A a B.

A    B, para i, A y B son indiferentes.

Suponemos que se cumple la propiedad transitiva para estas relaciones, el individuo es consecuente con sus preferencias.

• R_i es la ordenación de preferencias del individuo i, que llamaremos perfil de preferencias o estado de opinión.
• Rⁱ son las ordenaciones de las alternativas con independencia de la elección individual.

1. d) Función de bienestar social

A cada perfil de preferencias de n de individuos, le asociamos un orden del grupo R mediante un conjunto de reglas o función F.

F

(R₁ , R₂ , ………, R_n)                             R

Dependiendo de estas reglas tendremos distintas funciones de bienestar social.

El número de funciones crece con el número de alternativas y de individuos, tal número se reduce al imponer una serie de condiciones en forma de axiomas plausibles.

1.3  Ejemplo inicial

Sea una sociedad compuesta por dos individuos que pueden elegir entre dos alternativas A y B, (adquirir o no una vivienda, comprar uno u otro modelo de automóvil, contratar o no a cierto empleado, etc.).

Las alternativas son entonces: R¹ :  A    B, R² :  B    A  y  R³ :  A   ~   B

Un orden de preferencias del grupo podría ser (R₁ , R₃ ); el primer individuo prefiere  A a B y para el segundo A y B son indiferentes. El conjunto de todos los posibles perfiles de preferencias es el dominio de la función F que tendrá como imagen un perfil R.

F: R x R                             R

La siguiente tabla muestra los diferentes perfiles de la pareja de votantes y cuatro posibles funciones F:

1        2                   F₁       F₂       F₃       F₄

R₁       R₁                 R¹       R¹       R¹       R²

R₁       R₂                 R³       R¹       R¹       R³

R₁       R₃                 R¹       R¹       R¹       R²

R₂       R₁                 R³       R¹       R²       R³

R₂       R₂                 R²       R¹       R²       R¹

R₂       R₃                 R²       R¹       R²       R²

R₃       R₁                 R¹       R¹       R³       R²

R₃       R₂                 R²       R¹       R³       R³

R₃       R₃                 R³       R¹       R³       R¹

• F₁  trata de «combinar» las preferencias de ambos individuos.
• F₂  supone un procedimiento impuesto, A  B con independencia de las   preferencias individuales.
• F₃  es una función dictatorial, la decisión colectiva depende únicamente de la opinión del individuo 1.
• F₄  no responde a un procedimiento lógico ya que va en contra de las opiniones individuales.

1.4  EL PROCEDIMIENTO MAYORITARIO DE ELECCIÓN

Si limitamos el problema de decisión colectiva a la selección del mejor entre dos candidatos A y B mediante la votación de los n individuos consistente en elegir cada uno al que considera más idóneo, existe solución satisfactoria según la regla de la mayoría, así; si de 100 votantes 57 refieren a A y 43 a B, el candidato A dará satisfacción a la mayoría de los votantes.

Condorcet analiza el problema que se plantea cuando hay tres o más candidatos, en este caso la ley simple de la mayoría tendría en cuenta sólo la prioridad de A sobre otros, lo que nos impide conocer con más precisión la opinión del votante, y afirma que este procedimiento, para el caso de más de dos candidatos no nos garantiza la elección más acertada, y que con probabilidad nos conducirá a una decisión infortunada, esto es, que no nos proporcione el máximo bienestar.

La decisión más acertada supone entonces conocer todos los matices de la opinión de los votantes sobre los candidatos, lo que puede hacerse de dos formas:

1. a) Cuantitativa.

Que consiste en asignar un número a cada candidato que mida la ordenación establecida o el mérito atribuido. Este método fue propuesto por Borda en 1781 y adoptado en algunas localidades como Génova. También para la elección del mejor jugador de baloncesto en la NBA.

Tiene el inconveniente de que al asignar 0 al peor candidato, 1 al siguiente, etc., puede no medir exactamente el mérito que el votante asigna a cada candidato, sería preciso definir escalas más amplias con la consiguiente dificultad de cuantificación de una cualidad.

1. b) Cualitativa.

Con la ventaja de que el votante expresa su opinión mediante una ordenación de candidatos, lo que introduce mayor facilidad al problema simplificándose la labor de escrutinio. Existen w! órdenes de preferencia u opiniones individuales posibles, así para 3 candidatos serían posibles 3! = 6 ordenaciones:

ABC,   ACB,   BAC,   BCA,   CAB  y  CBA

1.5  El procedimiento de decisión por pares

Propuesto por Condorcet[1], consiste en analizar para cada pareja de candidatos el orden de preferencias votado por la colectividad, y ello aplicando la regla de la mayoría simple, que da buenos resultados para las ordenaciones de cada dos candidatos.Si por ejemplo 50 votantes han establecido respecto de tres candidatos las ordenaciones:

A  B  C ———–15 votos

A  C  B ————2 votos

B  A  C ————9 votos

B  C  A ————5 votos

C  A  B ————1 voto

C  B  A ———–18 votos,  total n = 50 votos

Es claro que:

A  B  para 15 + 2 + 1 = 18 votantes

B  A  para 9 + 5 + 18 = 32 votantes

A  C para 15 + 2 + 9 = 26 votantes

C  A para 5 + 1 + 18 = 24 votantes

B  C  para 15 + 9 + 5 = 29 votantes

C  B  para 2 + 1 + 18 = 21 votantes

Si se acepta la regla de la mayoría simple se tendrá:

I.-    B  A

II .-  A  C        Solución:   B  A  C

III .- B  C

1.6  El efecto Condorcet

Se conoce con este nombre el no cumplimiento de la transitividad en el procedimiento de decisión por pares, como demuestra el siguiente ejemplo.

Para n = 60 votantes y tres candidatos se ha obtenido:

A  B  C ———-23 votos

A  C  B ————0 votos

B  A  C ————2 votos

B  C  A ———-17 votos

C  A  B ———-10 votos

C  B  A ————8 votos,   total n = 60 votos

El recuento por pares da las mayorías:

I.-   A    B  para 33 votantes

II.-  C    A  para 35 votantes               A    B    C  (preferencia cíclica)

III.- B    C  para 42 votantes

No se verifica la propiedad transitiva y se llega a una preferencia cíclica.

Este efecto se presenta en votaciones de sociedades o conjunto de individuos con una profunda división en la población de votantes.

Se demuestra para w = 3 alternativas y n = 3 votantes, el efecto Condorcet se presenta en el 5,6% de los estados de opinión, en el 6,9% si n = 5, en el 7,5% si n = 7, en el 7,8% si n = 9 y en el 8,8% si n = . Si por el contrario n es fijo y se hace variar w, entonces la frecuencia tiende al 100% de los casos.

1.7  El teorema de Arrow

Ante los resultados obtenidos por Condorcet, Karl Arrow, en su libro «Social Choice and Individual Values», publicado en 1951, aborda el problema que plantea la búsqueda de una función de bienestar social F a la que impone dos requisitos en forma de axiomas:

Axioma 1. Soberanía de la colectividad.

La aplicación F ha de ser sobreyectiva para que ningún orden sea excluido «a priori».

Axioma. 2. Asociación positiva entre valores.

F debe ser tal que si, para cierto estado de opinión A    B, y en otro estado los individuos que preferían A a B no han modificado su opinión, también en este estado debe ser A    B.

A partir de estos dos axiomas, Arrow propone su teorema llamado de la imposibilidad, para lo que restringe el dominio de F [(w!)ⁿ órdenes posibles para w alternativas y n individuos], exigiendo a F verificar las condiciones:

C1.  Dominio universal.

F debe estar definida para todo perfil de preferencias individuales.

C2.  Principio de Pareto.

Si F indica A   B para un cierto estado de opinión, y los individuos no cambian esta relación o la modifican en favor de A, entonces para la colectividad debe ser A  B.

C3.  Independencias de alternativas irrelevantes.

Sea R₁  R. Si un perfil de R se modifica de tal modo que los elementos pertenecientes a R₁ no alteran su posición relativa, la función de grupo resultante del perfil original y del modificado deben ser idénticas para las alternativas de R₁.

C4.  Soberanía de los individuos.

Para cada par de alternativas A, B existe al menos un perfil de preferencias individuales, para el cual la función de grupo da A    B.

C5.  No dictadura.

No existe un individuo tal que cuando él prefiere A a B, la sociedad prefiere A a B, cualquiera que sean las preferencias de los restantes individuos.

El teorema de Arrow afirma que no existe una función de grupo tal que verifique las cinco condiciones, o de otro modo; si verifica las condiciones C_1, C_2, C₃ y C₄, entonces es dictatorial. Un bosquejo de la demostración de este teorema puede verse en el libro de Rafael Infante, y la demostración completa en el de Luce y Raiffa.

1.8  El criterio de Borda

En 1781 Borda da un criterio de preferencia colectiva, este consiste en asignar un peso a cada candidato según el lugar que ocupe en la ordenación, si suponemos cuatro candidatos A, B, C y D, el último tendrá un peso 0, el penúltimo 1, el segundo 2 y el primero 3.

Una vez asignados los pesos a los candidatos, según su lugar de colocación, hacemos recuento de los pesos atribuidos por todos y cada uno de los votantes, para elegir aquel candidato que haya alcanzado el peso total más alto.

Por ejemplo, imaginemos la siguiente situación:

Tenemos 35 votantes y 5 candidatos (A, B, C, D y E). Los puntos y votos se reparten de la siguiente forma:

0   1  2   3  4          0   1  2   3  4       0   1  2   3    4        0  1  2   3  4         0  1  2  3 4

2 votantes asignan 4 puntos cada uno al candidato A, 3 al B, etc.

El recuento puede hacerse mediante la matriz de Borda, que leída de fila a columna expresa el número de votantes que prefiere cada alternativa a todas las demás.

Por el método de Condorcet resultaría elegido el candidato C, mientras que por el método de Borda el candidato elegido sería B que aventaja en 31 votos a A, etc, lo que confirma lo demostrado por Arrow.

El criterio de Borda presenta la ventaja de que el candidato elegido alcanza mayor número de votos en las comparaciones paritarias con respecto a cada uno de los otros candidatos.

1.9  Procedimiento de Black y Coombs

Black y Coombs han propuesto un método que resuelve a satisfacción el problema cuando las alternativas que se comparan son cuantitativas. Encajan el problema del escrutinio como un modelo de Álgebra. Los problemas que son objeto del Álgebra abstracta aparecen siempre que es necesario componer varios elementos para obtener como resultado uno que pertenezca a la misma especie.

Estas dos características están presentes en el problema del escrutinio.

Cada opinión individual puede ser reducida a un conjunto de respuestas si o no, que representaremos por + o ­ a una serie de preguntas.

Por ejemplo imaginemos que una asamblea va a votar unos presupuestos, los cuales definimos como A = 100, B = 105, C = 110 y D = 115. Si una persona elige B no sabremos si elegirá antes A que C o D, ahora bien, si una persona elige A parece evidente que elegirá antes B que C.

Razonando de este modo se pueden excluir a priori ciertos ordenes de preferencia y admitir que las opiniones individuales subjetivas tienen en cuenta en cierta medida el orden natural que hará que la escala de preferencias de cada votante sea unimodal.

Si nos centramos en un caso general, designamos con las letras A, B, C, D, ….., X, de tal forma que el orden objetivo sea el orden alfabético. Todo voto u opinión comprende una serie de juicios A  D, B  F, ……, admitimos que estos juicios siguen la lógica universal y el orden alfabético.

Se pude considerar una jerarquía de juicios y cada juicio implica varios más que representar ordenadamente.

A B      AC      A D      AE     A  F

BC      B D      BE      B  F

CD      C E     C  F

DE      D F

E F

De donde deducimos que la afirmación de uno cualquiera de los juicios implica la afirmación de los que están a su izquierda y sobre él.

Toda opinión individual puede ser expresada por el siguiente cuadro.

+     +     +     +     +     +     ­

+     +     +     +      ­     ­

+     +      ­      ­

Podemos distinguir en él dos regiones, la positiva, respuestas afirmativas, y la negativa, respuestas negativas, que siempre podrán separarse por una frontera.

Pasemos a ver como varias opiniones de esta especie dan lugar a una opinión colectiva cuando se aplica la regla de la mayoría simple a cada juicio.

Si imaginamos superpuestas las opiniones individuales a cada comparación de dos alternativas corresponderá n signos, la regla de la mayoría permitirá asignar un + o un ­ en todos los casos si n es impar, si fuera par puede darse empate, en cuyo caso podría recurrirse al voto del presidente o algo similar. Resumiríamos así la opinión de los n votantes en un solo cuadro del que puede ser extraída la ordenación óptima.

Para el caso:

A    B         A <  C         A <  D          A <  E          A <  F         A <  G

+                       +                    +                      ­                     ­                    ­

B <  C          B <  D          B <  E          B <  F          B <  G

+                      ­                       ­                    ­                      ­

C <  D          C <  E          C <  F          C <  G

­                        ­                    ­                   ­

D <  E          D <  F          D <  G

–                        –                  ­

E <  F          E <  G

­                       ­

F <  G

–

Con la frontera marcada, la ordenación óptima es: C  B  D  A  E  F  G

La restricción impuesta de unimodalidad, limita el conjunto de ordenaciones a los llamados órdenes blackianos. Se demuestra que para w alternativas existen 2^w-1 órdenes blackianos, que pueden ser reconocidos, tras su representación gráfica, por poder recorrerse en una o dos secuencias, de izquierda a derecha y de derecha a izquierda la ordenación A B C D E F G … en ellos

Así:                 D    E     C   F     B     G     A

*                   *                   *                   *

*                   *                   *

es un orden blackiano

En cambio:               E     B     A     C     D     F     G

*       *

*         *

*                                              *         *

no lo es

1.10  UTILIDAD MEDIA PONDERADA

Todos los métodos de decisiones colectivas hasta ahora expuestos presuponen la misma importancia o “peso relativo” a cada votante.

Si este requisito no se cumple, el problema tiene solución tanto para alternativas cualitativas como cuantitativas.

Cada votante expresa su opinión asignando una nota o “utilidad” a cada alternativa en cualquier escala de intervalo previamente acordada; [0-10], [0-100], etc. Por otra parte, si p₁, p₂,……. p_n son los pesos de cada votante (ejemplo: porcentaje de participación en las sociedades), las alternativas que se comparan quedan ordenadas por su utilidad media ponderada.

Donde x₁,x₂, …, x_n son las notas o utilidades que asignan los n votantes a cada alternativa.

Caso práctico

Para poner de manifiesto las dificultades que entraña elegir un sistema de votación adecuado y el poder decisivo que tiene aquel que es capaz de imponer su criterio al resto del colectivo, propondremos el siguiente ejemplo tomado de la obra “Mathematics for all purposes”, S. Garfunkel (editor), Freeman N.Y., 1988

Un colectivo de 55 socios de una empresa van a elegir su presidente de entre 5 candidatos, A, B, C, D y E.

El orden de preferencias tras la votación es:

A D E C B  …………  18  votantes

B E D C A  …………  12  votantes

C B E D A  …………  10  votantes

D C E B A  ………….   9  votantes

E B D C A  …………    4  votantes

E C D B A  …………    2  votantes

Se pide encontrar el candidato y ordenación óptimos, comentando los resultados, según los métodos:

1. a) Votación única o regla de la mayoría simple
2. b) Dos vueltas. Se vota una vez, le eligen los dos candidatos con mayor número de votos. Se vota una segunda vez sólo entre estos dos, sale elegido el que obtiene más votos de los dos en esta segunda vuelta
3. c) Eliminación del último. Se vota cuatro veces sucesivamente eliminándose al menos votado cada vez. Se elige el que queda
4. d) Votación ponderada. Se asignan 4 puntos a la primera opción de cada elector, 3 a la segunda, etc. Sale elegido quien tenga más puntos.
5. e) Método de Condorcet
6. f) Método de Borda
7. g) Conclusiones finales y propuesta de una solución a la vista de los resultados

[1] Condorcet, Jean-Antoine-Nicolas Caritat, Marqués de (1743-1794)

Filósofo, matemático y político francés. Miembro de la Académie Royale des Sciences.

En 1774 es nombrado inspector de Moneda por Turgot e inicia una intensa vida política. Defiende los derechos del hombre y, especialmente, defiende los derechos de las mujeres y los negros. Apoya activamente la lucha por la independencia de los Estados Unidos de Norteamérica. Propone numerosos proyectos de reformas políticas, administrativas y económicas para transformar la sociedad francesa. En 1791 es elegido Diputado en la Asamblea Legislativa y en 1792 en la Convención.

En octubre de 1793 se le acusa de criticar el proyecto de Constitución presentado por  Hérault de Séchelles. Se esconde durante cinco meses pero en marzo de 1794 es descubierto y detenido. Al día siguiente aparece muerto en la prisión.Consideraba que la sociedad evolucionaba hacia un progreso indefinido que podía ser impulsado mediante la educación y que conducía a una cada vez mayor igualdad de derechos.